让字符串成为回文串的最少插入次数

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题目描述：给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。

请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。

「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

示例 1：
输入：s = “zzazz”
输出：0
解释：字符串 “zzazz” 已经是回文串了，所以不需要做任何插入操作。

示例 2：
输入：s = “mbadm”
输出：2
解释：字符串可变为 “mbdadbm” 或者 “mdbabdm” 。

示例 3：
输入：s = “leetcode”
输出：5
解释：插入 5 个字符后字符串变为 “leetcodocteel” 。

示例 4：
输入：s = “g”
输出：0

示例 5：
输入：s = “no”
输出：1

动态规划

1、dp数组定义
dp[i][j] 表示字符串s[i…j]，要变成回文串时最少需要dp[i][j] 次插入

根据dp数组可知所求结果为dp[0][n-1]（n为s的长度）

2、选择 和 状态

  • 选择: 字符s[i]和s[j]

  • 状态: dp[i][j] 最少插入次数的改变

  • 状态转移

    • 如果s[i] == s[j]，此时结果s[i, j]和s[i+1..j-1]回文串的插入次数相等，所以dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
    • 如果s[i] != s[j]，此时结果为回文串s[i..j-1]或者s[i+1..j]，取两者中的小者后加上1即可，
      (
      把s[i..j-1]变回文串，可以在s[i..j-1]左边插入一个字符s[j]可以将s[i..j]变成回文串
      把s[i+1..j]变回文串，可以在s[i+1..j]右边插入一个字符s[i]可以将s[i..j]变成回文串
      )

  • 状态转移方程如下

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if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
} else {
    dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}

3、 基本情况
当i == j时，dp[i][j] = 0

因为当i == j时，s[i..j]就只是一个字符，一个字符本身就是回文串，不需要进行任何插入操作，所以为0

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var minInsertions = function(s) {
  const n = s.length;
  const dp = Array.from(Array(n), () => Array(n).fill(false))
  for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
    for (let j = i + 1; j < n; j++) {
      if (s[i] === s[j]) {
        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
      } else {
        dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1
      }
    }
  }
  return dp[0][n - 1]
};

// 状态压缩 空间复杂度 O(n)
var minInsertions = function(s) {
    const n = s.length;
    const dp = new Array(n).fill(0);
    let temp = 0;
    for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
        let pre = 0;
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            temp = dp[j];
            if (s[i] === s[j]) {
                dp[j] = pre;
            } else {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + 1;
            }

            pre = temp;
        }
    }
    return dp[n - 1];
};

复杂度

  • 时间复杂度 O(N^2), N为s的长度
  • 空间复杂度 O(N^2)